Bei der Kalkulation von (Rück)Versicherungsprämien werden ältere Schadendaten häufig vor der statistischen Auswertung mittels eines Inflationsindex adjustiert, der exogen (nicht aus den Daten selbst) berechnet wurde. Dabei nimmt man implizit an, dass der verwendete Index die Inflation der versicherten Schäden exakt abbildet. In der Praxis dürfte es aber zumeist eine kleine Abweichung zwischen der "wahren" Inflation und dem Index geben. In dieser Arbeit wird ein stochastischer Ansatz für dieses "Basisrisiko" vorgeschlagen und gezeigt, wie sich damit die statistischen Eigenschaften der Prämienkalkulation grundlegend, aber im Einklang mit der Intuition verändern. Insbesondere werden dadurch ältere Daten sukzessive weniger aussagekräftig als neuere. Weiter wird ein umfassendes Modell für die Unsicherheit vergangener und zukünftiger Inflation entwickelt, dessen Kern eine Systematik aller die Kalkulation betreffenden Inflationsarten ist und das auch auf Layer-Deckungen anwendbar ist. Schließlich wird gezeigt, wie man die Prognosequalität der Prämienkalkulation durch geeignete Gewichtung der Daten nach Alter verbessern kann. <dt.>
In (re)insurance premium rating, older loss data are often adjusted before the statistical evaluation by means of an "external" inflation index (calculated not from the data itself). By doing so, it is implicitly assumed that this index exactly reflects the inflation of the insured losses. However, in practice there should mostly be a slight deviation between the "true" loss inflation and the index. In this thesis, we propose a stochastic approach for this "basis risk" and show how it changes the statistical properties of premium rating: fundamentally, but in accordance with intuition. In particular, older data becomes gradually less representative than recent data. Then, a comprehensive model for the uncertainty of past and future inflation is developed, having at its heart a system of all types of inflation that matter for the rating. It is applicable even to non-proportional covers (layers). Finally, we show how to improve the forecast accuracy of premium rating by appropriately weighting the data by age. <engl.>
In dieser Arbeit untersuchen wir Bernstein- und verwandte Copulas für beliebige Dimensionen d und beliebige Gitterkonstanten m und werfen einen Blick auf ihre Konstruktion durch diskrete Zufallsvektoren mit uniformer Randverteilung. Weiter stellen wir verschiedene Methoden zur Schätzung der Bernstein-Copula aus multivariaten empirischen Daten dar: die Schätzung mittels Turm-Copula und die Methode auf Basis von Kontingenztafel und Schachbrett-Copula. Wir empfehlen weiterhin einen Ansatz, um die Abhängigkeitsstruktur der beobachteten multivariaten Daten an Bernstein-Copulas mit beliebigen Gitterkonstanten und Dimensionen anzupassen. Dies geschieht durch Anwendung der Turm-Copula und Verfahren der Clusteranalyse. Schließlich werden diese verschiedenen Ansätze mittels einer Monte-Carlo-Studie für die Simulation und Value-at-Risk-Schätzung der Gesamtrisikoverteilung von abhängigen Sturm- und Hochwasserverlusten verglichen. <dt.>
In this thesis we examine Bernstein and related copulas for arbitrary dimensions d and arbitrary grid constants m and take a look at their construction through discrete random vectors with uniform margins. Next we investigate different methods to fit empirical multivariate data to a Bernstein copula: the estimation using a Rook copula and the method based on grid-type copulas and (multivariate) contingency tables. We further suggest an approach to fit the dependence structure of the observed multivariate data to Bernstein copulas with any grid constant and any dimension. This is accomplished by using a Rook copula and methods of cluster analysis. Finally, we compare these various methods with the help of a Monte Carlo study for the simulation and Value-at-Risk estimation for aggregated dependent losses from observed windstorm and flooding data. <engl.>