Wir betrachten den Lorentzschen Dirac-Operator auf Zeit-kompakten global hyperbolischen Spin Mannigfaltigkeiten gerader Dimension mit nicht kompakter, raumartiger Cauchy-Hyperfläche, welche aufgrund der Kompaktheit der Zeit-Domäne zwei raumartige Randhyperflächen impliziert. Insbesondere betrachten wir die Cauchy-Hyperfläche als Galois-Überlagerung mit geschlossener Basis. Der zu betrachtende Dirac Operator entspricht dem gleichen Dirac Operator auf der Basis, welcher auf die Überlagerung geliftet wurde. Wir beweisen, dass dieser Lift unter (verallgemeinerten) Atiyah-Patodi-Singer Randbedingungen Breuer-Fredholm ist. Die hier vorgestellte Beweisstrategie basiert auf den Ausführungen und Ergebnissen für kompakte Hyperflächen von Christian Bär und Alexander Strohmaier für gewöhnliche Atiyah-Patodi-Singer Randbedingungen; der Fall verallgemeinerter Atiyah-Patodi-Singer Randbedingungen beruht auf Ergebnissen von Christian Bär und Sebastian Hannes für den Fall kompakter Cauchy-Hyperflächen.
We consider the Lorentzian Dirac operator on a temporal compact, globally hyperbolic spin manifold of even dimension with non-compact Cauchy hypersurface, inducing two boundary hypersurfaces due to the compactness of the time domain. We specify the Cauchy hypersurface as a Galois covering with closed base manifold. The Dirac operator of interest can be viewed as lift of the same Dirac operator on the base manifold. We equip the lifted Dirac operator with (generalised) Atiyah-Patodi-Singer boundary conditions and show Breuer-Fredholmness of the lifted Dirac operator under the mentioned boundary conditions. The presented method of proof is based on the descriptions and results for compact hypersurfaces, provided by Christian Bär and Alexander Strohmaier for ordinary Atiyah-Patodi-Singer boundary conditions; we also consider generalised Atiyah-Patodi-Singer boundary conditions for which we rely on results from Christian Bär and Sebastian Hannes for the compact setting.
In dieser Dissertation zeigen wir zuerst parabolische Schauder Abschätzungen für den Laplace-Beltrami Operator auf einer Mannigfaltigkeit M, dessen gefaserter Rand mit einer Φ-Metrik eg ausgestattet ist. Dies generalisiert asymptotisch konische Mannigfaltigkeiten (scattering) und schließt Speziallfälle der magnetischen und gravitationalen Monopole ein. Als Konsequenz zeigen wir die Existenz und die Regularität quasi-linearer parabolischer Gleichungen auf (M, eg). Das ist entscheidend für die Analysis des mittleren Krümmungsflusses. Insbesondere studieren wir den vorgeschriebenen mittleren Krümmungsfluss des Graphen einer Funktion, die über eine raumartige Faser einer generalisierten Robertson-Walker Raumzeit definiert ist, wobei die raumartigen Fasern Φ-Mannigfaltigkeiten sind. Wir zeigen, dass der Fluss für kurze Zeit existiert und raumartig bleibt. Diese Arbeit verallgemeinert frühere Arbeiten von Ecker, Huisken und Gerhardt hinsichtlich eines wichtigen Aspekts: wir analysieren den Fluss für nicht-kompakte Cauchy-Hyperflächen. Im Kontext dieser Arbeiten schränken wir uns auf den Spezialfall einer Lorentz-Raumzeit mit globaler, hyperbolischer, verzerrter Produktmetrik ein.
In this thesis we firstly prove parabolic Schauder estimates for the Laplace-Beltrami operator on a manifold M with fibered boundary equipped with a Φ-metric eg. This setting generalizes the asymptotically conical (scattering) spaces and includes special cases of magnetic and gravitational monopoles. As a consequence, we establish existence and regularity of solutions for some quasilinear parabolic equations on (M, eg). This is the crucial groundwork for the analysis of many geometric flows. In particular, we focus on the prescribed mean curvature flow of graphs over a space-like slice of a generalised Robertson-Walker space-time having Φ-manifolds as space-like slices. We prove that the flow exists for short time and that it preserves the space-likeness condition. Our discussion generalizes previous work by Ecker, Huisken, Gerhardt and others with respect to a crucial aspect: we consider a class of non-compact Cauchy hypersurface. Moreover, we specialize the aforementioned works by considering globally hyperbolic Lorentzian space-times equipped with a specific class of warped product metrics.
École Polytechnique (Palaiseau) Journal de l'École polytechnique / Mathématiques Paris : [Verlag nicht ermittelbar], 2014 9(2022), Seite 959-1019 Online-Ressource
Der erste Teil der vorliegenden Dissertation beschäftigt sich mit quasihomogenen Blow-ups einer Untermannigfaltigkeit Y in einer umgebenen Mannigfaltigkeit mit Ecken. Quasihomogene Blow-ups verallgemeinern das Konzept von radiellen Blow-ups. Die Grundidee ist das Zuordnen von Gewichten zu Funktionen, die auf $Y$ verschwinden. Der zweite Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit der Hd-Kompaktifizierung von SL(n,R). Diese Kompaktifizierung wurde für allgemeine semisimple Lie Gruppen von Albin, Dimakis, Melrose und Vogan eingeführt. Wir konstruieren eine Resolution von dieser Kompaktifizierung, die wir mit X bezeichnen, auf der rechts-invarianten Differentialoperatoren ein simples Verhalten an den verschieden Randflächen von X vorweisen. Wir konstruieren eine Algebra von Pseudodifferentialoperatoren auf X. Wir definieren diese Operatoren mithilfe einer Resolution von X^2, die durch eine Folge von quasihomogenen Blow-ups konstruiert wird.
In the first part of this thesis we consider the quasihomogeneous blow-up of a submanifold Y in a surrounding manifold with corners X. It generalizes the concept of radial blow-up and revolves around the idea of assigning different weights to functions vanishing at the submanifold Y. In the second part of this thesis we consider the hd-compactification of SL(n,R), introduced by Albin, Dimakis, Melrose and Vogan. We introduce a resolution of this compactification, on which right-invariant differential operators have simple degeneracies at the boundary. We construct an algebra of pseudodifferential operators on X. It is constructed using a resolution of X^2 by a series of quasihomogeneous blow-ups. A composition theorem for these operators is proven, using a resolution of the triple product space X^3.