International mathematics research notices Oxford : Oxford University Press, 1991 2025(2025), 1 vom: Jan., Artikel-ID rnae264, Seite 1-33 Online-Ressource
Annals of global analysis and geometry Dordrecht [u.a.] : Springer Science + Business Media B.V, 1983 63(2023), Artikel-ID 23, Seite 1-32 Online-Ressource
Annals of global analysis and geometry Dordrecht [u.a.] : Springer Science + Business Media B.V, 1983 64(2023), Artikel-ID 11, Seite 1-45 Online-Ressource
Wir betrachten den Lorentzschen Dirac-Operator auf Zeit-kompakten global hyperbolischen Spin Mannigfaltigkeiten gerader Dimension mit nicht kompakter, raumartiger Cauchy-Hyperfläche, welche aufgrund der Kompaktheit der Zeit-Domäne zwei raumartige Randhyperflächen impliziert. Insbesondere betrachten wir die Cauchy-Hyperfläche als Galois-Überlagerung mit geschlossener Basis. Der zu betrachtende Dirac Operator entspricht dem gleichen Dirac Operator auf der Basis, welcher auf die Überlagerung geliftet wurde. Wir beweisen, dass dieser Lift unter (verallgemeinerten) Atiyah-Patodi-Singer Randbedingungen Breuer-Fredholm ist. Die hier vorgestellte Beweisstrategie basiert auf den Ausführungen und Ergebnissen für kompakte Hyperflächen von Christian Bär und Alexander Strohmaier für gewöhnliche Atiyah-Patodi-Singer Randbedingungen; der Fall verallgemeinerter Atiyah-Patodi-Singer Randbedingungen beruht auf Ergebnissen von Christian Bär und Sebastian Hannes für den Fall kompakter Cauchy-Hyperflächen.
We consider the Lorentzian Dirac operator on a temporal compact, globally hyperbolic spin manifold of even dimension with non-compact Cauchy hypersurface, inducing two boundary hypersurfaces due to the compactness of the time domain. We specify the Cauchy hypersurface as a Galois covering with closed base manifold. The Dirac operator of interest can be viewed as lift of the same Dirac operator on the base manifold. We equip the lifted Dirac operator with (generalised) Atiyah-Patodi-Singer boundary conditions and show Breuer-Fredholmness of the lifted Dirac operator under the mentioned boundary conditions. The presented method of proof is based on the descriptions and results for compact hypersurfaces, provided by Christian Bär and Alexander Strohmaier for ordinary Atiyah-Patodi-Singer boundary conditions; we also consider generalised Atiyah-Patodi-Singer boundary conditions for which we rely on results from Christian Bär and Sebastian Hannes for the compact setting.
In this thesis we resolve generalized semi-classical operators geometrically by means of blow-up and construct quasimodes on the resolved spaces. The goal is to generalize the well-known methods for constructing WKB approximations for solutions of the Schrödinger equation to a wider class of operators P=P(x,h,d/dx). The central tool is the newly introduced Newton polygon of a semi-classical operator P, which is used to predict qualitative and quantitative statements about the existence of quasimodes. Moreover, we consider operators whose solutions of their induced eikonal equation have jumps of multiplicity. These are algorithmically resolved by chaining quasihomogeneous blow-ups, in the sense that we can construct sufficiently regular WKB-type quasimodes for the operator ß*P on the resolved space.
In dieser Dissertation werden verallgemeinerte, semi-klassische Operatoren geometrisch durch Blow-ups aufgelöst und anschließend Quasimoden auf den aufgelösten Räumen konstruiert. Das Ziel ist dabei die bekannten Methoden zur Konstruktion von WKB-Approximation von Lösungen der Schrödinger-Gleichung auf eine größere Klasse von Operatoren P=P(x,h,d/dx) zu verallgemeinern. Das zentrale Hilfsmittel ist dabei das neu eingeführte Newton Polygon eines semi-klassischen Operators P, welches genutzt wird um qualitative und quantitative Aussagen über die Existenz von Quasimoden vorherzusagen. Darüber hinaus betrachten wir Operatoren, dessen Lösungen der induzierten Eikonalgleichungen Multiplizitätssprünge aufweisen. Diese werden algorithmisch durch die Anwendung verketteter, quasihomogener Blow-ups aufgelöst, in dem Sinne, dass wir hinreichend reguläre Quasimoden von WKB-Art für den Operator ß*P auf dem aufgelösten Raum konstruieren können.
