infinitesimal martingale; non-monotone information; Thiele BSDE; Life insurance mathematics; Hochschulschrift
In dieser Arbeit wird das gängige Mehrzustandsmodell der Lebensversicherung durch die Betrachtung von nicht-monotonen und eingeschränkten Informationsstrukturen erweitert. Gleichzeitig werden Zahlungen erlaubt, die nichtlinear von der prospektiven Reserve abhängen können. In der Literatur, siehe z.B. [CD20], sind ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum und die Martingaltheorie von zentraler Bedeutung, um die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen für die BSDE der prospektiven Reserve zeigen zu können. Diese Methoden sind jedoch mit der nicht-monotonen Informationsstruktur nicht anwendbar, sodass stattdessen das infinitesimale Martingal-Konzept aus [Chr21b] genutzt wird. In der Arbeit zeigen wir die Existenz und Eindeutigkeit des nicht-adaptierten Zahlungsprozesses mit dem Fixpunkttheorem von Banach und nutzen den Zusammenhang zwischen Zahlungsprozess und der Reserve über die bedingte Erwartung aus. Die Ergebnisse werden für zwei Modelle mit einem unterschiedlichen Grad an Reserveabhängigkeit spezifiziert, auf die prospektive Reserve ausgedehnt, und eine analoge Thiele BSDE wird präsentiert. Ein Theorem über die Berechnung von Nettoäquivalenzprämien schließt die theoretischen Beiträge der Arbeit ab. Zu den Anwendungen der Theorie gehören gesetzliche Einschränkungen, wie sie im „Recht auf Löschung“ der GDPR 2016/679 festgelegt sind, sowie das Gleichbehandlungsgesetz, welches zu Unisex-Tarifen führt.
This thesis builds upon existing multi-state life insurance models by incorporating non-monotone and restricted information structures, while simultaneously considering payments that may depend non-linearly on the prospective reserve. In literature, see f.e. [CD20], a filtered probability space and martingale theory are central to showing existence and uniqueness of solutions to the corresponding BSDE of the prospective reserve. However, these martingale methods are inapplicable in the context of non-monotone information structures, and the infinitesimal martingale concept in [Chr21b] is used. We demonstrate the existence and uniqueness of the non-adapted payment process by using the fixed-point theorem of Banach and by exploiting the connection between payment process and reserve through the conditional expectation. The results are specified for two main models with a differing degree of reserve dependency and extended to the prospective reserve, where a analogous formulation to the Thiele BSDE is presented. An additional theorem about the calculation of net equivalent premiums as a starting value problem concludes the theoretical contributions of this thesis. Potential applications of the theory include legal restrictions as set out in the 'right to erasure' of the GDPR 2016/679, as well as the principle of equal treatment, resulting in unisex tariffs.
This thesis explores optimal hedging strategies under capital constraints within a robust market modelling framework, where uncertainty is addressed by considering multiple model measures. It introduces an indifference curve of optimal strategies, capturing trade-offs between different market assumptions. All strategies along this curve are derived using worst-case martingale measures, whose continuity properties are proven to ease computation. The thesis also tackles practical interpretation challenges, especially with non-equivalent measures, by proposing a modelling approach using pushforward measures, and analyzes when this approach aligns with the original results.
Diese Arbeit untersucht optimale Hedgingstrategien unter Kapitalbeschränkung im Kontext robuster Marktmodellierung, bei der mehrere Wahrscheinlichkeitsmaße simultan berücksichtigt werden. Daraus ergibt sich eine Indifferenzkurve optimaler Strategien, die die Abwägung zwischen verschiedenen Marktannahmen zeigt. Alle Strategien auf dieser Kurve basieren auf Worst-Case-Martingalmaßen, deren Stetigkeiteigenschaften bewiesen werden, was den Aufwand numerischer Berechnung reduziert. Probleme bei der Interpretation der theoretiscchen Ergebnisse im praktischen Kontext, insebesondere bei nicht äquivalenten Maßen, werden durch einen Ansatz mit Bildmaßen gelöst. Zudem wird analysiert, wann die Ergebnisse dieses Ansatzes mit den ursprünglichen Resultaten übereinstimmen.
Several surplus decomposition formulas have been presented in the actuarial literature. However, all contributions use heuristic arguments. A comprehensive decomposition principle that allows existing decomposition formulas to be compared and modern risks to be added is still missing. The thesis closes that gap by introducing a so-called infinitesimal sequential updating (ISU) decomposition principle. The ISU decomposition principle improves the sequential updating (SU) decomposition principle by eliminating its order effects while retaining the desired additivity. The plausibility of the ISU decomposition principle is demonstrated by replicating the surplus decompositions known from the actuarial literature. In addition, the application of the ISU decomposition principle to martingales reveals its great potential in risk management. In particular, conditions are presented under which the ISU decomposition coincides with the martingale representation theorem (MRT) decomposition. Finally, evidence for the numerical feasibility of the ISU decomposition principle is provided using multilevel Monte Carlo methods.
Bisherige Herleitungen von Überschusszerlegungen in der aktuariellen Literatur basieren auf heuristischen Argumenten. Ein Zerlegungsprinzip, das es erlaubt, bestehende Zerlegungen zu vergleichen und diese um moderne Risiken zu erweitern, fehlt bisher. Die vorliegende Arbeit schließt diese Lücke, indem sie ein sogenanntes infinitesimal sequential updating (ISU) Zerlegungsprinzip einführt. Das ISU-Zerlegungsprinzip verbessert das sequential updating (SU) Zerlegungsprinzip, indem es dessen Ordnungseffekte eliminiert und dabei die gewünschte Additivität erhält. Die Adäquatheit des ISU-Zerlegungsprinzips wird mittels der Replikation aus der Literatur bekannter Überschusszerlegungen nachgewiesen. Zusätzlich zeigt die Anwendung auf Martingale das Potenzial des ISU-Zerlegungsprinzips für das Risikomanagement. Insbesondere werden in dieser Arbeit Bedingungen präsentiert, unter denen die ISU Zerlegung mit der martingale representation theorem (MRT) Zerlegung übereinstimmt. Abschließend wird die numerische Durchführbarkeit des ISU-Zerlegungsprinzips mithilfe von multilevel Monte-Carlo-Methoden demonstriert.
This thesis investigates advances in non-Markov models, focusing on two-dimensional extensions of conditional forward transition rates and their applications in life insurance. The concept of conditional forward transition rates, originally developed to improve reserve estimation by eliminating the need for the Markov assumption, enables the calculation of conditional expected values. The newly developed two-dimensional conditional transition rates are used to calculate second-order conditional moments, which are crucial for risk analysis in actuarial applications. To further support this framework, an estimator for two-dimensional conditional transition rates is introduced, combining the theory of bivariate survival functions with the theory of landmark Nelson-Aalen and landmark Aalen-Johansen estimation. These two-dimensional conditional transition rates prove useful not only for calculating second-order moments but also for capturing the intertemporal dependency of path-dependent cash flows, such as those resulting from incidental policyholder behavior upon contract modifications.Furthermore, an alternative approach to reserve estimation for policies with path-dependent cash flows is examined. This method uses scaled transition rates and scaled probabilities, which capture the stochastic nature of the payment functions by incorporating it as a scaling factor into the Aalen-Johansen estimation. This estimation procedure is also beneficial for analyzing more general stochastic payments, such as those involving stochastic interest rates.
Diese Dissertation behandelt Fortschritte in non-Markov Modellen mit einem Schwerpunkt auf zweidimensionalen Erweiterungen von bedingten Übergangsraten und deren Anwen- dungen in der Lebensversicherung. Das Konzept der bedingten Übergangsraten wurde ursprünglich entwickelt, um die Schätzungen der Reserven von Versicherungspolicen zu verbessern, indem auf die Markov-Annahme verzichtet wird, und ermöglicht dadurch die Berechnung bedingter Erwartungswerte. Die neu entwickelten zweidimensionalen beding- ten Übergangsraten werden zur Berechnung von bedingten Momenten zweiter Ordnung verwendet, die für die Risikoanalyse in der Versicherungsmathematik von entscheidender Bedeutung sind. Um die statistische Grundlage zu schaffen, wird ein Schätzer für zweidimen- sionale bedingte Übergangsraten eingeführt, der die Theorie bivariater Survivalfunktionen mit der Theorie der Landmark-Nelson-Aalen- und Landmark-Aalen-Johansen-Schätzung kombiniert. Diese zweidimensionalen bedingten Übergangsraten sind nicht nur nützlich für die Berechnung von Momenten zweiter Ordnung, sondern auch zur Erfassung der intertemporalen Abhängigkeit von pfadabhängigen Zahlungsströmen, wie sie beispielsweise durch optionale Vertragsänderungen entstehen. Des Weiteren wird ein alternativer Ansatz zur Schätzung der Reserve für Policen mit pfadabhängigen Zahlungsströmen untersucht. Dieses Verfahren verwendet skalierte Wahr- scheinlichkeiten, die die stochastische Natur der Zahlungsfunktionen erfassen, indem diese als Skalierungsfaktor in die Aalen-Johansen-Schätzung integriert werden. Diese Schätzme- thode eignet sich auch für die Analyse allgemeinerer stochastischer Zahlungen, wie sie bei stochastischen Zinssätzen auftreten.
Deutsche Gesellschaft für Versicherungs- und Finanzmathematik European actuarial journal Berlin : Springer, 2011 14(2024), Seite 411-436 Online-Ressource
bonus and dividends; profit and loss attribution; redistribution of surplus; sequential decompositions; With-profit life insurance; Aufsatz in Zeitschrift
Scandinavian actuarial journal Stockholm : Taylor & Francis, 1974 2022(2022), 10, Seite 901-925 Online-Ressource
