In this work, the classification of simple isolated Cohen-Macaulay codimension 2 singularities is generalized to a non-complete classification of simple non-isolated Cohen-Macaulay codimension 2 singularities. Cohen-Macaulay codimension 2 singularities are characterized by the fact that, unlike determinantal singularities in general, they correspond one-to-one with classes of matrices of the form nx(n+1), where n is a natural number and the entries are non-units. Deformations of the space germs correspond to perturbations of a defining matrix, making the concept of simplicity accessible. Through this correspondence, we obtain a well-manageable class of singularities that go beyond the known complete intersections, thereby providing interesting further examples. By dropping the requirement of isolatedness and considering non-isolated singularities, the possible matrix size and the dimension of the ambient space for simple singularities increase. Existing classifications, such as those of simple hypersurface singularities and simple isolated Cohen-Macaulay codimension 2 singularities, are used to present some new simple non-isolated determinantal singularities in normal form.
In dieser Arbeit wird die Klassifikation von einfachen isolierten Cohen-Macaulay Kodimension 2 Singularitäten zu einer nicht-vollständigen Klassifikation von einfachen nicht-isolierten Cohen-Macaulay Kodimension 2 Singularitäten verallgemeinert. Cohen-Macaulay Kodimension 2 Singularitäten zeichnen sich dadurch aus, dass sie, anders als determinantielle Singularitäten im Allgemeinen, in 1:1 Korrespondenz zu Klassen von Matrizen von der Form nx(n+1) stehen, n eine natürliche Zahl, dessen Einträge Nicht-Einheiten sind. Deformationen der Raumkeime korrespondieren zu Störungen einer definierenden Matrix und machen den Begriff der Einfachheit greifbar. Durch diese Korrespondenz erhalten wir eine gut handhabbare Klasse von Singularitäten, welche über den bekannten von vollständigen Durchschnitten hinausgehen und dadurch interessante weiterführende Beispiele liefern. Lässt man von der Isoliertheitsanforderung ab und betrachtet nicht-isolierte Singularitäten, steigert sich die mögliche Matrixgröße und die Dimension des Umgebungsraumes für immer noch einfache Singularitäten. Auf vorhandene Klassifikationen, wie die der einfachen Hyperflächensingularitäten und einfachen isolierten Cohen-Macaulay Kodimension 2 Singularitäten wird zurückgegriffen, um einige neue einfache, nicht-isolierte determinantielle Singularitäten in Normalform angeben zu können.
HochschulschriftAuflösung von SingularitätenDeterminantenidealIdeal
Auflösung von Singularitäten spielt eine wichtige Rolle in der Arbeit von algebraischen Geometern seit dem Ende des 19. Jahrhunderts. Wir werden in dieser Arbeit die Menge der Spezialfälle auflösbarer SIngularitäten mit dem Fall einer speziellen Klasse determinantieller Ideale, erweitern. Diese spezielle Klasse verallgemeinert die determinantiellen Singularitäten generischer Matrizen zum Fall der determinantiellen Singularitäten monomialer und binomialer Matrizen. Außerdem werden wir einen effizienteren Weg sehen, (schief-)symmetrische generische determinantielle Singularitäten aufzulösen.Insgesamt zeigt sich, dass wir, durch eine geeignete Implementation der präsentierten Strategie, die Klasse, der in der Praxis berechenbaren Auflösungen durch geeignete Zentrumswahlen und Ausnutzen struktureller Eigenschaften erweitern können.
The resolution of singularities has played a crucial role in the work of algebraic geometers since the end of the 19th century. In this thesis, we extend the set of resolvable singularities with the special class of determinantal ideals. This special class generalizes the determinantal singularities of generic matrices to the next most challenging case: the determinantal singularities of at most binomial type. Overall, by implementing the presented strategy, we can extend the class of resolutions computable in practice by appropriate center choices and exploiting structural properties.
Lehrinnovationen in der Hochschulmathematik Berlin : Springer Spektrum, 2021 (2021), Seite 19-46 1 Online-Ressource (VII, 643 Seiten, 166 Abb., 30 Abb. in Farbe)
Chyzak, Frédéric Proceedings of the 2021 on International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation New York,NY,United States : Association for Computing Machinery, 2021 (2021), Seite 11-14 1 online resource (379 pages)
Lehrinnovationen in der Hochschulmathematik Berlin : Springer Spektrum, 2021 (2021), Seite 437-466 1 Online-Ressource (VII, 643 Seiten, 166 Abb., 30 Abb. in Farbe)
