In this thesis we resolve generalized semi-classical operators geometrically by means of blow-up and construct quasimodes on the resolved spaces. The goal is to generalize the well-known methods for constructing WKB approximations for solutions of the Schrödinger equation to a wider class of operators P=P(x,h,d/dx). The central tool is the newly introduced Newton polygon of a semi-classical operator P, which is used to predict qualitative and quantitative statements about the existence of quasimodes. Moreover, we consider operators whose solutions of their induced eikonal equation have jumps of multiplicity. These are algorithmically resolved by chaining quasihomogeneous blow-ups, in the sense that we can construct sufficiently regular WKB-type quasimodes for the operator ß*P on the resolved space.
In dieser Dissertation werden verallgemeinerte, semi-klassische Operatoren geometrisch durch Blow-ups aufgelöst und anschließend Quasimoden auf den aufgelösten Räumen konstruiert. Das Ziel ist dabei die bekannten Methoden zur Konstruktion von WKB-Approximation von Lösungen der Schrödinger-Gleichung auf eine größere Klasse von Operatoren P=P(x,h,d/dx) zu verallgemeinern. Das zentrale Hilfsmittel ist dabei das neu eingeführte Newton Polygon eines semi-klassischen Operators P, welches genutzt wird um qualitative und quantitative Aussagen über die Existenz von Quasimoden vorherzusagen. Darüber hinaus betrachten wir Operatoren, dessen Lösungen der induzierten Eikonalgleichungen Multiplizitätssprünge aufweisen. Diese werden algorithmisch durch die Anwendung verketteter, quasihomogener Blow-ups aufgelöst, in dem Sinne, dass wir hinreichend reguläre Quasimoden von WKB-Art für den Operator ß*P auf dem aufgelösten Raum konstruieren können.
Mathematische Zeitschriften und Wettbewerbe für Kinder und Jugendliche Münster : WTM Verlag für wissenschaftliche Texte und Medien, 2022 (2022), Seite 313-330 398 Seiten
In dieser Dissertation zeigen wir zuerst parabolische Schauder Abschätzungen für den Laplace-Beltrami Operator auf einer Mannigfaltigkeit M, dessen gefaserter Rand mit einer Φ-Metrik eg ausgestattet ist. Dies generalisiert asymptotisch konische Mannigfaltigkeiten (scattering) und schließt Speziallfälle der magnetischen und gravitationalen Monopole ein. Als Konsequenz zeigen wir die Existenz und die Regularität quasi-linearer parabolischer Gleichungen auf (M, eg). Das ist entscheidend für die Analysis des mittleren Krümmungsflusses. Insbesondere studieren wir den vorgeschriebenen mittleren Krümmungsfluss des Graphen einer Funktion, die über eine raumartige Faser einer generalisierten Robertson-Walker Raumzeit definiert ist, wobei die raumartigen Fasern Φ-Mannigfaltigkeiten sind. Wir zeigen, dass der Fluss für kurze Zeit existiert und raumartig bleibt. Diese Arbeit verallgemeinert frühere Arbeiten von Ecker, Huisken und Gerhardt hinsichtlich eines wichtigen Aspekts: wir analysieren den Fluss für nicht-kompakte Cauchy-Hyperflächen. Im Kontext dieser Arbeiten schränken wir uns auf den Spezialfall einer Lorentz-Raumzeit mit globaler, hyperbolischer, verzerrter Produktmetrik ein.
In this thesis we firstly prove parabolic Schauder estimates for the Laplace-Beltrami operator on a manifold M with fibered boundary equipped with a Φ-metric eg. This setting generalizes the asymptotically conical (scattering) spaces and includes special cases of magnetic and gravitational monopoles. As a consequence, we establish existence and regularity of solutions for some quasilinear parabolic equations on (M, eg). This is the crucial groundwork for the analysis of many geometric flows. In particular, we focus on the prescribed mean curvature flow of graphs over a space-like slice of a generalised Robertson-Walker space-time having Φ-manifolds as space-like slices. We prove that the flow exists for short time and that it preserves the space-likeness condition. Our discussion generalizes previous work by Ecker, Huisken, Gerhardt and others with respect to a crucial aspect: we consider a class of non-compact Cauchy hypersurface. Moreover, we specialize the aforementioned works by considering globally hyperbolic Lorentzian space-times equipped with a specific class of warped product metrics.
École Polytechnique (Palaiseau) Journal de l'Ecole Polytechnique. Mathématiques Paris : [Verlag nicht ermittelbar], 2014 9(2022), Seite 959-1019 Online-Ressource
Der erste Teil der vorliegenden Dissertation beschäftigt sich mit quasihomogenen Blow-ups einer Untermannigfaltigkeit Y in einer umgebenen Mannigfaltigkeit mit Ecken. Quasihomogene Blow-ups verallgemeinern das Konzept von radiellen Blow-ups. Die Grundidee ist das Zuordnen von Gewichten zu Funktionen, die auf $Y$ verschwinden. Der zweite Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit der Hd-Kompaktifizierung von SL(n,R). Diese Kompaktifizierung wurde für allgemeine semisimple Lie Gruppen von Albin, Dimakis, Melrose und Vogan eingeführt. Wir konstruieren eine Resolution von dieser Kompaktifizierung, die wir mit X bezeichnen, auf der rechts-invarianten Differentialoperatoren ein simples Verhalten an den verschieden Randflächen von X vorweisen. Wir konstruieren eine Algebra von Pseudodifferentialoperatoren auf X. Wir definieren diese Operatoren mithilfe einer Resolution von X^2, die durch eine Folge von quasihomogenen Blow-ups konstruiert wird.
In the first part of this thesis we consider the quasihomogeneous blow-up of a submanifold Y in a surrounding manifold with corners X. It generalizes the concept of radial blow-up and revolves around the idea of assigning different weights to functions vanishing at the submanifold Y. In the second part of this thesis we consider the hd-compactification of SL(n,R), introduced by Albin, Dimakis, Melrose and Vogan. We introduce a resolution of this compactification, on which right-invariant differential operators have simple degeneracies at the boundary. We construct an algebra of pseudodifferential operators on X. It is constructed using a resolution of X^2 by a series of quasihomogeneous blow-ups. A composition theorem for these operators is proven, using a resolution of the triple product space X^3.
Gemeinsame Jahrestagung der GDM und DMV (2018 : Paderborn) Beiträge zum Mathematikunterricht 2018 ; Band 1 Münster : WTM, Verlag für wissenschaftliche Texte und Medien, 2018 (2018), Seite 25-32 lix, 532 Seiten
Deutsche Mathematiker-Vereinigung Mitteilungen der Deutschen Mathematiker-Vereinigung Berlin : Walter de Gruyter GmbH, 1965 28(2018), 2/3, Seite 132-133
