In this thesis we resolve generalized semi-classical operators geometrically by means of blow-up and construct quasimodes on the resolved spaces. The goal is to generalize the well-known methods for constructing WKB approximations for solutions of the Schrödinger equation to a wider class of operators P=P(x,h,d/dx). The central tool is the newly introduced Newton polygon of a semi-classical operator P, which is used to predict qualitative and quantitative statements about the existence of quasimodes. Moreover, we consider operators whose solutions of their induced eikonal equation have jumps of multiplicity. These are algorithmically resolved by chaining quasihomogeneous blow-ups, in the sense that we can construct sufficiently regular WKB-type quasimodes for the operator ß*P on the resolved space.
In dieser Dissertation werden verallgemeinerte, semi-klassische Operatoren geometrisch durch Blow-ups aufgelöst und anschließend Quasimoden auf den aufgelösten Räumen konstruiert. Das Ziel ist dabei die bekannten Methoden zur Konstruktion von WKB-Approximation von Lösungen der Schrödinger-Gleichung auf eine größere Klasse von Operatoren P=P(x,h,d/dx) zu verallgemeinern. Das zentrale Hilfsmittel ist dabei das neu eingeführte Newton Polygon eines semi-klassischen Operators P, welches genutzt wird um qualitative und quantitative Aussagen über die Existenz von Quasimoden vorherzusagen. Darüber hinaus betrachten wir Operatoren, dessen Lösungen der induzierten Eikonalgleichungen Multiplizitätssprünge aufweisen. Diese werden algorithmisch durch die Anwendung verketteter, quasihomogener Blow-ups aufgelöst, in dem Sinne, dass wir hinreichend reguläre Quasimoden von WKB-Art für den Operator ß*P auf dem aufgelösten Raum konstruieren können.
Mathematische Zeitschriften und Wettbewerbe für Kinder und Jugendliche Münster : WTM Verlag für wissenschaftliche Texte und Medien, 2022 (2022), Seite 313-330 398 Seiten
École Polytechnique (Palaiseau) Journal de l'Ecole Polytechnique. Mathématiques Paris : [Verlag nicht ermittelbar], 2014 9(2022), Seite 959-1019 Online-Ressource
In dieser Dissertation zeigen wir zuerst parabolische Schauder Abschätzungen für den Laplace-Beltrami Operator auf einer Mannigfaltigkeit M, dessen gefaserter Rand mit einer Φ-Metrik eg ausgestattet ist. Dies generalisiert asymptotisch konische Mannigfaltigkeiten (scattering) und schließt Speziallfälle der magnetischen und gravitationalen Monopole ein. Als Konsequenz zeigen wir die Existenz und die Regularität quasi-linearer parabolischer Gleichungen auf (M, eg). Das ist entscheidend für die Analysis des mittleren Krümmungsflusses. Insbesondere studieren wir den vorgeschriebenen mittleren Krümmungsfluss des Graphen einer Funktion, die über eine raumartige Faser einer generalisierten Robertson-Walker Raumzeit definiert ist, wobei die raumartigen Fasern Φ-Mannigfaltigkeiten sind. Wir zeigen, dass der Fluss für kurze Zeit existiert und raumartig bleibt. Diese Arbeit verallgemeinert frühere Arbeiten von Ecker, Huisken und Gerhardt hinsichtlich eines wichtigen Aspekts: wir analysieren den Fluss für nicht-kompakte Cauchy-Hyperflächen. Im Kontext dieser Arbeiten schränken wir uns auf den Spezialfall einer Lorentz-Raumzeit mit globaler, hyperbolischer, verzerrter Produktmetrik ein.
In this thesis we firstly prove parabolic Schauder estimates for the Laplace-Beltrami operator on a manifold M with fibered boundary equipped with a Φ-metric eg. This setting generalizes the asymptotically conical (scattering) spaces and includes special cases of magnetic and gravitational monopoles. As a consequence, we establish existence and regularity of solutions for some quasilinear parabolic equations on (M, eg). This is the crucial groundwork for the analysis of many geometric flows. In particular, we focus on the prescribed mean curvature flow of graphs over a space-like slice of a generalised Robertson-Walker space-time having Φ-manifolds as space-like slices. We prove that the flow exists for short time and that it preserves the space-likeness condition. Our discussion generalizes previous work by Ecker, Huisken, Gerhardt and others with respect to a crucial aspect: we consider a class of non-compact Cauchy hypersurface. Moreover, we specialize the aforementioned works by considering globally hyperbolic Lorentzian space-times equipped with a specific class of warped product metrics.
Der erste Teil der vorliegenden Dissertation beschäftigt sich mit quasihomogenen Blow-ups einer Untermannigfaltigkeit Y in einer umgebenen Mannigfaltigkeit mit Ecken. Quasihomogene Blow-ups verallgemeinern das Konzept von radiellen Blow-ups. Die Grundidee ist das Zuordnen von Gewichten zu Funktionen, die auf $Y$ verschwinden. Der zweite Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit der Hd-Kompaktifizierung von SL(n,R). Diese Kompaktifizierung wurde für allgemeine semisimple Lie Gruppen von Albin, Dimakis, Melrose und Vogan eingeführt. Wir konstruieren eine Resolution von dieser Kompaktifizierung, die wir mit X bezeichnen, auf der rechts-invarianten Differentialoperatoren ein simples Verhalten an den verschieden Randflächen von X vorweisen. Wir konstruieren eine Algebra von Pseudodifferentialoperatoren auf X. Wir definieren diese Operatoren mithilfe einer Resolution von X^2, die durch eine Folge von quasihomogenen Blow-ups konstruiert wird.
In the first part of this thesis we consider the quasihomogeneous blow-up of a submanifold Y in a surrounding manifold with corners X. It generalizes the concept of radial blow-up and revolves around the idea of assigning different weights to functions vanishing at the submanifold Y. In the second part of this thesis we consider the hd-compactification of SL(n,R), introduced by Albin, Dimakis, Melrose and Vogan. We introduce a resolution of this compactification, on which right-invariant differential operators have simple degeneracies at the boundary. We construct an algebra of pseudodifferential operators on X. It is constructed using a resolution of X^2 by a series of quasihomogeneous blow-ups. A composition theorem for these operators is proven, using a resolution of the triple product space X^3.
Gemeinsame Jahrestagung der GDM und DMV (2018 : Paderborn) Beiträge zum Mathematikunterricht 2018 ; Band 1 Münster : WTM, Verlag für wissenschaftliche Texte und Medien, 2018 (2018), Seite 25-32 lix, 532 Seiten
Mathematics—Study and teaching; Mathematics -- Study and teaching; LehrbuchRekursionInduktionMathematische LogikProblemlösenBeweisGraphentheorieAbzählende KombinatorikZahlentheorieEntscheidungLogikMathematikSchlussfolgernInduktive LogikInduktionsschlussLogischer SchlussInduktivismusDeduktionKombinatorikArithmetikRechnenGraphDiskrete MathematikBegründungBeweisbarkeit
Introduction -- 1 First explorations -- 2 Recursion - a fundamental idea -- 3 Mathematical induction -- 4 Graphs -- 5 Counting -- 6 General problem solving strategies -- 7 Logic and proofs -- 8 Elementary number theory -- 9 The pigeonhole principle -- 10 The extremal principle -- 11 The invariance principle -- A A survey of problem-solving strategies -- B Basics on sets and maps -- List of symbols -- Glossary -- Lists of problems, theorems and methods -- Hints for selected exercises -- References
Have you ever faced a mathematical problem and had no idea how to approach it? Or perhaps you had an idea but got stuck halfway through? This book guides you in developing your creativity, as it takes you on a voyage of discovery into mathematics. Readers will not only learn strategies for solving problems and logical reasoning, but they will also learn about the importance of proofs and various proof techniques. Other topics covered include recursion, mathematical induction, graphs, counting, elementary number theory, and the pigeonhole, extremal and invariance principles. Designed to help students make the transition from secondary school to university level, this book provides readers with a refreshing look at mathematics and deep insights into universal principles that are valuable far beyond the scope of this book. Aimed especially at undergraduate and secondary school students as well as teachers, this book will appeal to anyone interested in mathematics. Only basic secondary school mathematics is required, including an understanding of numbers and elementary geometry, but no calculus. Including numerous exercises, with hints provided, this textbook is suitable for self-study and use alongside lecture courses
