In dieser Arbeit wird bewiesen, dass eine partielle Differentialgleichung (PDG) unter gewissen Voraussetzungen notwendigerweise variationell sein muss, d.h., dass sie sich als Euler-Lagrange Gleichung schreiben lässt. Anstatt die PDG direkt zu untersuchen, wird die sogenannte source form betrachtet, welche das natürliche Objekt in dieser Problemstellung ist. Wir zeigen, dass wenn eine source form gewisse Symmetrien und dazugehörige Erhaltungsgleichungen erfüllt, dann muss sie notwendigerweise variationell sein. Erhaltungsgleichungen beschreiben wichtige Eigenschaften von physikalischen Differentialgleichungen, wie z.B. Energie-, Impuls-, Drehimpuls-, Massen-, Ladungserhaltung usw. Wie aus dem ersten und zweiten Noetherschem Theorem bekannt ist, führen Symmetrien des variationellen Funktionals auf Erhaltungsgleichungen. In einem gewissen Sinne wollen wir diese Aussage umdrehen und beweisen, dass Symmetrien und Erhaltungsgleichungen zu einem variationellen Funktional führen.
We prove that under certain assumptions a partial differential equation (PDE) is necessarily variational, i.e. that it can be written as the Euler-Lagrange equation for some Lagrangian. Instead of investigating the PDE directly, we consider the so-called source form which is the natural object in this problem. We show that if a source form satisfies certain symmetries and corresponding conservation laws then it must necessarily be variational. Conservation laws describe important properties of physical differential equations, like the conservation of energy, momentum, angular-momentum, mass, charge and so on. It is well-known from Noether's first and second theorems that symmetries of a variational functional lead to conservation laws. In some sense, we want to reverse this statement and prove that symmetries and corresponding conservation laws lead to a variational functional.
Séminaire de Mathématiques Supérieures Geometric and Computational Spectral Theory (2015 : Montréal, Québec) Geometric and computational spectral theory Providence, Rhode Island : American Mathematical Society, 2017 (2017), Seite 207-266 ix, 284 Seiten
Lehren und Lernen von Mathematik in der Studieneingangsphase 1. Aufl. 2016 Wiesbaden : Springer Spektrum, 2016 (2016), Seite 661-675 Online-Ressource (XIII, 722 S. 124 Abb., 21 Abb. in Farbe, online resource)
Auftakt: Wurzel aus 2Reelle, rationale und ganze Zahlen -- Logik, Mengen, Abbildungen -- Kombinatorik -- Die Vollständigkeit der reellen Zahlen -- Komplexe Zahlen -- Konvergenz von Folgen -- Unendliche Reihen -- Potenzreihen -- Exponentialfunktion, Logarithmus und allgemeine Potenz -- Stetigkeit -- Differentialrechnung -- Komplexe Zahlen: Folgen und Reihen, Funktionen -- Die trigonometrischen Funktionen -- Integration -- Mehr als 140 Übungsaufgaben mit Hinweisen und Lösungen.
Einführung in die Analysis für Studenten des 1. Semesters der Mathematik, Physik, Informatik und weiterer Ingenieurfächer unter besonderer Berücksichtigung eines entdeckenden Zugangs. Rezension (ekz)
Entdecken Sie die höhere Mathematik für sich: Was sind die komplexen Zahlen, wie steht es mit der Unendlichkeit, ist 0,999…=1 und was steckt hinter der berühmten Eulerschen Formel? Mit diesem kompakten Lehrbuch der Analysis werden Sie dies und vieles mehr verstehen und sich dabei die Grundlagen für das Studium der Mathematik und der Naturwissenschaften aneignen. Das Buch ist aus dem beliebten, in Zusammenarbeit mit Studierenden entstandenen Skript des Autors entstanden und unterstützt Sie besonders beim Übergang von der Schule ins Studium. Mathematische Präzision gepaart mit anschaulichen Erklärungen und motivierenden Beispielen - das wird dieses Buch zu Ihrem ständigen Begleiter machen. Der Inhalt Auftakt: Wurzel aus 2 - Reelle, rationale und ganze Zahlen - Logik, Mengen, Abbildungen - Kombinatorik - Die Vollständigkeit der reellen Zahlen - Komplexe Zahlen - Konvergenz von Folgen - Unendliche Reihen - Potenzreihen - Exponentialfunktion, Logarithmus und allgemeine Potenz - Stetigkeit - Differentialrechnung - Komplexe Zahlen: Folgen und Reihen, Funktionen - Die trigonometrischen Funktionen - Integration - Mehr als 140 Übungsaufgaben mit Hinweisen und Lösungen Die Zielgruppen Studierende und Lehrende der Mathematik im 1. Semester, auch Physik-, Informatik- und Ingenieurstudierende Der Autor Prof. Dr. Daniel Grieser lehrt und forscht am Institut für Mathematik der Carl von Ossietzky Universität Oldenburg. 2014 erhielt er den erstmals vergebenen Ars legendi-Fakultätenpreis für exzellente Hochschullehre in der Mathematik. Passend zu dem ausgezeichneten Modul "Mathematisches Problemlösen und Beweisen" liegt sein gleichnamiges Buch bei Springer vor