This thesis contributes to the development of combinatorial methods for the study of geometrical invariants of Fano varieties. In the first part, we provide a combinatorial criterion for a non-degenerate toric complete intersection to be normal and irreducible. This is done by studying the structure of complete and simplicial fans corresponding to toric varieties of Picard number two. Secondly, we prove that the Gorenstein index of Fano general arrangement varieties can be read off the anticanonical complex (a polyhedral complex that generalizes the toric Fano polytope for broader classes of varieties) in full analogy to the Fano polytope. As an application, we classify certain threefolds with Gorenstein index at most three. Lastly, we contribute to the classification of Fano threefolds with torus action of complexity one. For this purpose, we take advantage of the properties of the anticanonical complex. We extend previous classification results by allowing combinatorially non-minimal varieties.
Diese Dissertation leistet einen Beitrag zur Entwicklung kombinatorischer Methoden zur Untersuchung geometrischer Invarianten von Fano-Varietäten. Im ersten Teil wird ein kombinatorisches Kriterium dafür aufgestellt, dass ein nicht-entarteter torischer vollständiger Durchschnitt normal und irreduzibel ist. Dafür wird die Struktur von vollständigen und simplizialen Fächern untersucht, die zu torischen Varietäten mit Picard-Zahl zwei korrespondieren. Zweitens zeigen wir, dass (analog zum torischen Fano-Polytop) der Gorenstein-Index für Fano Arrangement-Varietäten aus dem antikanonischen Komplex (einem polyedrischen Komplex, der das Fano-Polytop für andere Varietäten verallgemeinert) abgelesen werden kann. Damit klassifizieren wir bestimmte drei-dimensionale Varietäten mit einem Gorenstein-Index von höchstens drei. Zuletzt tragen wir zur Klassifizierung von drei-dimensionalen Fano-Varietäten mit Torus-Wirkung der Komplexität eins bei. Dafür nutzen wir die Eigenschaften des antikanonischen Komplexes und erweitern frühere Klassifizierungsergebnisse um kombinatorisch nicht-minimale Varietäten.
Gewinn- und Verlustzerlegung; COS Methode; HochschulschriftDekompositionWortbildungSubsystem
In the first section of this paper, we construct a class of time-continuous decompositions of path-independent financial instruments that takes into account the whole information of the paths and is consistent for different time grids. We show that there is a unique decomposition by demanding the three properties exactness, symmetry and normalization. We analyze suitable approximations, convergence types and conditions for efficient computation. For the efficient pricing of financial instruments, we analyze the COS method in the second section. We introduce the damped COS method, prove its convergence and analyze its order of convergence. To apply the method, we derive formulas for the truncation range of the density and the number of terms for the approximation by a cosine series for a predefined error tolerance. In the last section, we analyze machine learning methods to quickly evaluate the formulas.
Im ersten Abschnitt dieser Arbeit konstruieren wir eine Klasse von zeitstetigen Zerlegungen von pfadunabhängigen Finanzinstrumenten, welche die gesamte Information der Pfade berücksichtigt und für verschiedene Zeitgitter konsistent ist. Wir zeigen, dass es eine eindeutige Zerlegung gibt, indem wir die drei Eigenschaften Exaktheit, Symmetrie und Normalisierung fordern. Wir analysieren geeignete Approximationen, Konvergenzarten und Bedingungen für eine effiziente Berechnung. Zur effizienten Bepreisung von Finanzinstrumenten analysieren wir im zweiten Abschnitt die COS Methode. Wir führen die gedämpfte COS Methode ein, beweisen ihre Konvergenz und untersuchen ihre Konvergenzgeschwindigkeit. Zur Anwendung der Methode leiten wir für eine vordefinierte Fehlertoleranz Formeln für den Trunkierungsbereich der Dichte und die Anzahl der Terme zur Approximation durch eine Kosinusreihe her. Zur schnellen Auswertung der Formeln untersuchen wir im letzten Abschnitt maschinelle Lernverfahren.
infinitesimal martingale; non-monotone information; Thiele BSDE; Life insurance mathematics; Hochschulschrift
In dieser Arbeit wird das gängige Mehrzustandsmodell der Lebensversicherung durch die Betrachtung von nicht-monotonen und eingeschränkten Informationsstrukturen erweitert. Gleichzeitig werden Zahlungen erlaubt, die nichtlinear von der prospektiven Reserve abhängen können. In der Literatur, siehe z.B. [CD20], sind ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum und die Martingaltheorie von zentraler Bedeutung, um die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen für die BSDE der prospektiven Reserve zeigen zu können. Diese Methoden sind jedoch mit der nicht-monotonen Informationsstruktur nicht anwendbar, sodass stattdessen das infinitesimale Martingal-Konzept aus [Chr21b] genutzt wird. In der Arbeit zeigen wir die Existenz und Eindeutigkeit des nicht-adaptierten Zahlungsprozesses mit dem Fixpunkttheorem von Banach und nutzen den Zusammenhang zwischen Zahlungsprozess und der Reserve über die bedingte Erwartung aus. Die Ergebnisse werden für zwei Modelle mit einem unterschiedlichen Grad an Reserveabhängigkeit spezifiziert, auf die prospektive Reserve ausgedehnt, und eine analoge Thiele BSDE wird präsentiert. Ein Theorem über die Berechnung von Nettoäquivalenzprämien schließt die theoretischen Beiträge der Arbeit ab. Zu den Anwendungen der Theorie gehören gesetzliche Einschränkungen, wie sie im „Recht auf Löschung“ der GDPR 2016/679 festgelegt sind, sowie das Gleichbehandlungsgesetz, welches zu Unisex-Tarifen führt.
This thesis builds upon existing multi-state life insurance models by incorporating non-monotone and restricted information structures, while simultaneously considering payments that may depend non-linearly on the prospective reserve. In literature, see f.e. [CD20], a filtered probability space and martingale theory are central to showing existence and uniqueness of solutions to the corresponding BSDE of the prospective reserve. However, these martingale methods are inapplicable in the context of non-monotone information structures, and the infinitesimal martingale concept in [Chr21b] is used. We demonstrate the existence and uniqueness of the non-adapted payment process by using the fixed-point theorem of Banach and by exploiting the connection between payment process and reserve through the conditional expectation. The results are specified for two main models with a differing degree of reserve dependency and extended to the prospective reserve, where a analogous formulation to the Thiele BSDE is presented. An additional theorem about the calculation of net equivalent premiums as a starting value problem concludes the theoretical contributions of this thesis. Potential applications of the theory include legal restrictions as set out in the 'right to erasure' of the GDPR 2016/679, as well as the principle of equal treatment, resulting in unisex tariffs.
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