Wir betrachten den Lorentzschen Dirac-Operator auf Zeit-kompakten global hyperbolischen Spin Mannigfaltigkeiten gerader Dimension mit nicht kompakter, raumartiger Cauchy-Hyperfläche, welche aufgrund der Kompaktheit der Zeit-Domäne zwei raumartige Randhyperflächen impliziert. Insbesondere betrachten wir die Cauchy-Hyperfläche als Galois-Überlagerung mit geschlossener Basis. Der zu betrachtende Dirac Operator entspricht dem gleichen Dirac Operator auf der Basis, welcher auf die Überlagerung geliftet wurde. Wir beweisen, dass dieser Lift unter (verallgemeinerten) Atiyah-Patodi-Singer Randbedingungen Breuer-Fredholm ist. Die hier vorgestellte Beweisstrategie basiert auf den Ausführungen und Ergebnissen für kompakte Hyperflächen von Christian Bär und Alexander Strohmaier für gewöhnliche Atiyah-Patodi-Singer Randbedingungen; der Fall verallgemeinerter Atiyah-Patodi-Singer Randbedingungen beruht auf Ergebnissen von Christian Bär und Sebastian Hannes für den Fall kompakter Cauchy-Hyperflächen.
We consider the Lorentzian Dirac operator on a temporal compact, globally hyperbolic spin manifold of even dimension with non-compact Cauchy hypersurface, inducing two boundary hypersurfaces due to the compactness of the time domain. We specify the Cauchy hypersurface as a Galois covering with closed base manifold. The Dirac operator of interest can be viewed as lift of the same Dirac operator on the base manifold. We equip the lifted Dirac operator with (generalised) Atiyah-Patodi-Singer boundary conditions and show Breuer-Fredholmness of the lifted Dirac operator under the mentioned boundary conditions. The presented method of proof is based on the descriptions and results for compact hypersurfaces, provided by Christian Bär and Alexander Strohmaier for ordinary Atiyah-Patodi-Singer boundary conditions; we also consider generalised Atiyah-Patodi-Singer boundary conditions for which we rely on results from Christian Bär and Sebastian Hannes for the compact setting.
In this thesis we resolve generalized semi-classical operators geometrically by means of blow-up and construct quasimodes on the resolved spaces. The goal is to generalize the well-known methods for constructing WKB approximations for solutions of the Schrödinger equation to a wider class of operators P=P(x,h,d/dx). The central tool is the newly introduced Newton polygon of a semi-classical operator P, which is used to predict qualitative and quantitative statements about the existence of quasimodes. Moreover, we consider operators whose solutions of their induced eikonal equation have jumps of multiplicity. These are algorithmically resolved by chaining quasihomogeneous blow-ups, in the sense that we can construct sufficiently regular WKB-type quasimodes for the operator ß*P on the resolved space.
In dieser Dissertation werden verallgemeinerte, semi-klassische Operatoren geometrisch durch Blow-ups aufgelöst und anschließend Quasimoden auf den aufgelösten Räumen konstruiert. Das Ziel ist dabei die bekannten Methoden zur Konstruktion von WKB-Approximation von Lösungen der Schrödinger-Gleichung auf eine größere Klasse von Operatoren P=P(x,h,d/dx) zu verallgemeinern. Das zentrale Hilfsmittel ist dabei das neu eingeführte Newton Polygon eines semi-klassischen Operators P, welches genutzt wird um qualitative und quantitative Aussagen über die Existenz von Quasimoden vorherzusagen. Darüber hinaus betrachten wir Operatoren, dessen Lösungen der induzierten Eikonalgleichungen Multiplizitätssprünge aufweisen. Diese werden algorithmisch durch die Anwendung verketteter, quasihomogener Blow-ups aufgelöst, in dem Sinne, dass wir hinreichend reguläre Quasimoden von WKB-Art für den Operator ß*P auf dem aufgelösten Raum konstruieren können.
Documenta mathematica Berlin, Germany : EMS Press, an imprint of the European Mathematical Society - EMS - Publishing House GmbH, Institut für Mathematik, Technische Universität Berlin, 1996 27(2022), Seite 1169-1212 Online-Ressource
École Polytechnique (Palaiseau) Journal de l'Ecole Polytechnique. Mathématiques Paris : [Verlag nicht ermittelbar], 2014 9(2022), Seite 959-1019 Online-Ressource
In dieser Dissertation zeigen wir zuerst parabolische Schauder Abschätzungen für den Laplace-Beltrami Operator auf einer Mannigfaltigkeit M, dessen gefaserter Rand mit einer Φ-Metrik eg ausgestattet ist. Dies generalisiert asymptotisch konische Mannigfaltigkeiten (scattering) und schließt Speziallfälle der magnetischen und gravitationalen Monopole ein. Als Konsequenz zeigen wir die Existenz und die Regularität quasi-linearer parabolischer Gleichungen auf (M, eg). Das ist entscheidend für die Analysis des mittleren Krümmungsflusses. Insbesondere studieren wir den vorgeschriebenen mittleren Krümmungsfluss des Graphen einer Funktion, die über eine raumartige Faser einer generalisierten Robertson-Walker Raumzeit definiert ist, wobei die raumartigen Fasern Φ-Mannigfaltigkeiten sind. Wir zeigen, dass der Fluss für kurze Zeit existiert und raumartig bleibt. Diese Arbeit verallgemeinert frühere Arbeiten von Ecker, Huisken und Gerhardt hinsichtlich eines wichtigen Aspekts: wir analysieren den Fluss für nicht-kompakte Cauchy-Hyperflächen. Im Kontext dieser Arbeiten schränken wir uns auf den Spezialfall einer Lorentz-Raumzeit mit globaler, hyperbolischer, verzerrter Produktmetrik ein.
In this thesis we firstly prove parabolic Schauder estimates for the Laplace-Beltrami operator on a manifold M with fibered boundary equipped with a Φ-metric eg. This setting generalizes the asymptotically conical (scattering) spaces and includes special cases of magnetic and gravitational monopoles. As a consequence, we establish existence and regularity of solutions for some quasilinear parabolic equations on (M, eg). This is the crucial groundwork for the analysis of many geometric flows. In particular, we focus on the prescribed mean curvature flow of graphs over a space-like slice of a generalised Robertson-Walker space-time having Φ-manifolds as space-like slices. We prove that the flow exists for short time and that it preserves the space-likeness condition. Our discussion generalizes previous work by Ecker, Huisken, Gerhardt and others with respect to a crucial aspect: we consider a class of non-compact Cauchy hypersurface. Moreover, we specialize the aforementioned works by considering globally hyperbolic Lorentzian space-times equipped with a specific class of warped product metrics.
